最长上升子序列(LIS)问题是一个经典的动态规划问题,目标是找到一个序列中长度最长的上升子序列。这个问题在计算机科学和其他领域有着广泛的应用,例如优化算法、任务调度和生物信息学。
蛮力解法:
解决 LIS 问题最直接的方法是使用蛮力法。我们对序列中的每个元素作为一个潜在子序列的起点,然后尝试延伸这个子序列。当我们遍历到序列的结尾时,我们记录遇到的最长上升子序列的长度。
虽然蛮力法可以解决 LIS 问题,但效率非常低,时间复杂度为 O(2^n),其中 n 是序列的长度。对于大型序列,蛮力法在实际中是不可行的。
动态规划解法:
为了提高效率,我们采用动态规划方法。动态规划是一种自底向上的算法,将问题分解成更小的子问题,并存储子问题的解决方案,以避免重复计算。
对于 LIS 问题,我们可以定义一个辅助数组 dp[i],其中 dp[i] 表示以序列第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度。
我们可以按照以下步骤计算 dp 数组:
- 初始化 dp[i] = 1,表示每个元素本身就是一个长度为 1 的上升子序列。
- 对于序列中的每个元素 i,从 1 到 i-1 遍历之前的元素。
- 如果序列第 i 个元素大于序列第 j 个元素,且 dp[i] < dp[j] + 1,则更新 dp[i] = dp[j] + 1。
- 重复步骤 2 和 3,直到遍历完全序列。
经过上述步骤,dp 数组中将存储以每个元素结尾的最长上升子序列的长度。最长上升子序列的长度就是 dp 数组中的最大值。
时间复杂度:
动态规划解法的的时间复杂度为 O(n^2),其中 n 是序列的长度。虽然这个时间复杂度比蛮力法低,但对于大型序列仍然可能很高。
最优解:
在时间复杂度方面,LIS 问题的最优解是基于二分查找的 O(n log n) 算法。该算法使用一个称为“最长非下降子序列”的辅助结构来跟踪 LIS。
最长非下降子序列(LDS)是序列中长度最长的非下降子序列。LDS 的最长长度恰好等于 LIS 的最长长度。
基于二分查找的 LIS 算法按照以下步骤工作:
- 初始化一个长度为 0 的 LDS。
- 对于序列中的每个元素,使用二分查找在 LDS 中找到一个位置,使得该元素可以添加到 LDS 末尾而不破坏其非下降性质。
- 将该元素添加到 LDS 的末尾。
- 重复步骤 2 和 3,直到遍历完全序列。
LDS 的最长长度就是 LIS 的最长长度。
空间复杂度:
基于二分查找的 LIS 算法的空间复杂度为 O(n),其中 n 是序列的长度。这个空间复杂度远低于动态规划解法的 O(n^2)。
总的来说,基于二分查找的 LIS 算法是解决 LIS 问题的最优解,因为它具有 O(n log n) 的时间复杂度和 O(n) 的空间复杂度。
最长上升子序列(LIS)问题是在给定序列中找到最长的递增子序列。它是动态规划的经典问题,有多种优化解法。下面就来分别介绍一下这些解法。
动态规划解法
动态规划是一种自底向上的解题方法。对于该问题,我们可以定义一个状态 dp[i]
,表示从序列开头到第 i
个元素的最长上升子序列长度。然后,我们可以使用如下递推公式计算状态:
dp[i] = max(dp[j] + 1) for all j < i and sequence[j] < sequence[i]
其中,max
函数返回最大值。这个递推公式表示,长度为 dp[i]
的最长上升子序列可以由长度为 dp[j]
的子序列扩展而来,并加上最后一个元素。
使用动态规划方法,我们可以求解最长上升子序列的长度和序列本身。该方法的时间复杂度为 O(n^2),其中 n 是序列的长度。
二分搜索解法
二分搜索解法是一种通过维护一个有序序列来求解 LIS 的方法。我们从一个长度为 1 的有序序列开始,然后逐个插入序列中的元素。对于每个元素,我们使用二分搜索来找到其在有序序列中的插入位置,从而保证有序序列保持递增。
在插入元素后,我们更新有序序列的长度。最后,有序序列的长度就是 LIS 的长度。该方法的时间复杂度为 O(n log n),其中 n 是序列的长度。
优化解法
上述两种解法都是LIS问题的通用解法。以下是一些进一步的优化:
- 记忆化搜索:在动态规划解法中,我们可以使用记忆化搜索来避免重复计算。也就是在计算每个状态之前,先检查它是否已经被计算过。如果已经计算过,则直接返回结果,避免重复计算。
- 二分搜索优化动态规划:在动态规划解法中,我们可以使用二分搜索来优化
dp
数组的更新。具体而言,对于每个元素,我们可以使用二分搜索来找到其在dp
数组中的插入位置,从而避免线性搜索。 - 折半查找:对于二分搜索解法,我们可以使用折半查找算法来进一步优化二分搜索过程。折半查找算法将有序序列分成两半,然后根据元素与序列中点的关系来确定插入位置。
以上这些优化可以有效地降低算法的时间复杂度。不过,需要注意的是,这些优化会增加算法的代码复杂度。因此,在选择解法时,需要根据具体情况权衡时间复杂度和代码复杂度。
在我探索了一系列算法之后,我发现求解最长上升子序列(LIS)问题的最优解有两种:动态规划和二分查找算法。
动态规划
动态规划是一种自底向上的算法,它将问题分解成一系列重叠子问题。它通过创建一个表来存储每个子问题的最优解,从而避免重复计算。
对于 LIS 问题,我们将创建一个大小为 n 的表,其中 n 是序列的长度。表中的每个元素都存储以相应索引处元素作为结尾的最长上升序列的长度。
L(i) = 1 + max(L(j)) for all j < i and A[j] < A[i]
其中:
- L(i) 是以索引 i 处的元素结尾的最长上升子序列的长度
- A[i] 是序列中索引 i 处的元素
我们从头开始填充表,并为每个元素计算其最长上升子序列。通过这种方式,我们可以获得序列中最长上升子序列的长度。
时间复杂度:O(n^2)
空间复杂度:O(n)
二分查找
二分查找是一种自顶向下的算法,它将序列分成越来越小的部分,直到找到最长上升子序列。
我们从一个长度为 1 的上升子序列开始。然后,我们尝试将序列中的下一个元素添加到这个子序列中。如果可以添加,则更新子序列并继续尝试添加下一个元素。否则,我们使用二分查找在子序列中找到一个稍短的上升子序列,并将下一个元素添加到该子序列中。
while i < n:
j = lower_bound(A, L, A[i])
L[j] = A[i]
i += 1
其中:
- A 是输入序列
- L 是存储最长上升子序列的数组
- lower_bound() 是一个二分查找函数,用于找到 L 中第一个大于或等于 A[i] 的元素
我们继续这个过程,直到遍历完整个序列。最后,数组 L 中保存的最长上升子序列的长度就是我们想要的答案。
时间复杂度:O(n log n)
空间复杂度:O(n)
优缺点
动态规划算法的优点是简单易懂,它可以解决广泛的问题。缺点是它的时间复杂度为 O(n^2),这对于大规模输入可能效率较低。
二分查找算法的时间复杂度为 O(n log n),对于大规模输入效率更高。然而,它的实现可能比动态规划算法更复杂。
选择最优解
如果您需要一个快速且简单的方法来解决 LIS 问题,我推荐使用动态规划算法。然而,如果您需要解决更大规模的问题,二分查找算法是更可取的选择。